・His hopes were disappointed.＝He was disappointed in his hopes. 彼の期待ははずれた.

・cherish [entertain] the hope that… …という希望[期待]を抱く.

・live in hope (よい結果などへの)希望を抱いている, 楽観している.

・live in hope(s) of… …(すること)を期待している, …(へ)の希望を抱いている.

・in (the) hope of retrieving it それを取り戻したいと思って.

・I did it in the hope that I could [might] help you. あなたのお手伝いができればよいと思ってそうした.

・put [set] one's hopes on [in]… …に期待する[望みをかける].

・Don't raise her hopes too high.＝Don't build up her hopes too much. 彼女にあまり期待を抱かせるな.